问题
问答题
如果f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=1，
试证：
答案
参考答案：因为f(x)在[0，1]上二阶可导，所以在[0，1]上f’(x)存在且连续，进而知f(x)在[0，1]上连续，由题设知[*]我们令f(x0)=0，易见x0≠0，1，所以0＜x0＜1
由于f(x)在x0点可导且在x0点取最小值，所以f’(x0)=0
将f(x)按(x-x0)的幂展开为二阶泰勒公式，有
[*]
其中ξ在x与x0之间，考虑到f(x0)=f’(x0)=0，有
[*]
即
[*]
取x=0，1，并考虑到f(0)=f(1)=1，有
[*]
于是，当[*]时，有
[*]
当[*]时，有
[*]
从而，有
[*]
解析：
[分析]： 欲证的结论中含有f"(x)，这使人想到泰勒公式．进一步考虑，应将f(x)展成哪一点处的二阶泰勒公式呢显然该点应该是函数f(x)的零点。