问题
问答题
设f(x)=arctanx，试导出关系式
(1+x2)f(n+2)(x)+2(n+1)xf(n+1)(x)+n(n+1)f(n)(x)=0，
并求f(n)(0)。
答案
参考答案：因f(x)=arctanx，则
[*]
f’(x)(1+x2)=1
上式两端求n+1阶导数，得
[*]
即[*]
于是得递推公式
(1+x2)f(n+2)(x)+2(n+1)xf(n+1)(x)+n(n+1)f(n)(x)=0
令x=0，由上式得
f(n+2)(0)=-n(n+1)f(n)(0)，
因[*]
所以，由上式知
当n=2m+1时，f(2m+1)(0)=-2(2m-1)2mf(2m+1)(0)，
又因f’(0)=1，所以f(2m+1)(0)=(-1)m(2m)!