问题
解答题
已知直线l被直线l1：2x+y+1=0与l2：x-2y-3=0截得的线段中点恰好为坐标原点．
（1）求直线l的方程；
（2）若抛物线y=ax2-1（a≠0）上总不存在关于l对称的两点，求实数a的取值范围．
答案
（1）设l1与l的交点P（a，-2a-1），l2与l的交点Q（2b+3，b）
则a+2b+3=0 -2a-1+b=0
∴b=-1，则Q（1，-1），
故l的方程为：x+y=0（6分）
（2）设抛物线上存在两点M（x1，y1），N（x2，y2）关于直线l：x+y=0对称
设lMN：y=x+t线段MN的中点位A（x0，y0）
由
得ax2-x-t-1=0（8分）y=x+t y=ax2-1
△=1+4a（t+1）＞0①
且x^+x^=
x^x^=-1 a
∴x0=t+1 a
y0=1 2a
+t∴A(1 2a
，1 2a
+t)（10分）1 2a
中点A(
，1 2a
+t)在直线x+y=0上∴1 2a
+1 2a
+t=0即t=-1 2a
代入①得：a＞1 a 3 4
即当a＞
时，抛物线上存在两点关于直线l：x+y=0对称，3 4
故抛物线上不存在两点关于直线l：x+y=0对称时，a≤
且a≠0（14分）3 4