问题
解答题
已知函数f（x）=sin（ωx+
（1）求ω的最小正值及此时函数y=f（x）的表达式； （2）将（1）中所得函数y=f（x）的图象结果怎样的变换可得y=
（3）在（1）的前提下，设α∈[
①求tanα的值； ②求cos2（α-β）-1的值． |
答案
（1）因为f(
)=1，所以sin(ω•π 6
+π 6
)=1，π 3
于是ω•
+π 6
=π 3
+2kπ(k∈Z)，即ω=1+12k（k∈Z），π 2
故当k=0时，ω取得最小正值1．
此时f(x)=sin(x+
)．π 3
（2）先将y=sin(x+
)的图象向右平移π 3
个单位得y=sinx的图象；π 3
再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得y=sin
x的图象；1 2
最后将所得图象上各点的纵坐标缩小到原来的
倍（横坐标不变）得y=1 2
sin1 2
x的图象．1 2
（3）因为f（α）=
，f(β)=-3 5
，4 5
所以sin(α+
)=π 3
，sin(β+3 5
)=-π 3
．4 5
因为α∈[
，π 6
]，β∈(-2π 3
，-5π 6
)，π 3
所以α+
∈[π 3
，π]，β+π 2
∈(-π 3
，0)．π 2
于是cos(α+
)=-π 3
，cos(β+4 5
)=π 3
．3 5
①因为tan(α+
)=π 3
=-sin(α+
)π 3 cos(α+
)π 3
，3 4
所以tanα=tan[(α+
)-π 3
]=π 3
=tan(α+
)-tanπ 3 π 3 1+tan(α+
)•tanπ 3 π 3
=-
-3 4 3 1+(-
)•3 4 3
=4
+33 3
-43
．48+25 3 11
②因为sin(α-β)=sin[(α+
)-(β+π 3
)]=sin(α+π 3
)cos(β+π 3
)-cos(α+π 3
)sin(β+π 3
)=π 3
•3 5
-(-3 5
)•(-4 5
)=-4 5
，7 25
所以cos2（α-β）-1=-2sin2（α-β）=-2×(-
)2=-7 25
．98 625
