问题
解答题
已知函数f（x）=Asin2（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜
（1）求φ； （2）求f（x）图象的对称中心； （3）计算f（1）+f（2）+…+f（2008）． |
答案
（1）y=Asin2（ωx+φ）=
-A 2
cos（2ωx+2φ），A 2
∵y=f（x）的最大值为2，A＞0，
∴
+A 2
=2，A=2A 2
又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0，
∴
•1 2
=2，ω=2π 2ω
，π 4
∴f（x）=1-cos（
x+2φ）．π 2
又y=f（x）过点（1，2），
∴cos（
x+2φ）=-1，π 2
∴
+2φ=2kπ+π，k∈Z，π 2
∴2φ=2kπ+
，k∈Z，π 2
∴φ=kπ+
，k∈Z．π 4
又0＜φ＜
，π 2
∴φ=
．π 4
（2）∵φ=
，π 4
∴y=1-cos（
x+π 2
）=1+sinπ 2
x，π 2
令
x=kπ得：x=2k，π 2
所以函数的对称中心为（2k，1），k∈Z．
（3）∵f（x）=1+sin
x，π 2
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4，
又y=f（x）的周期为4，2008=4×502
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）=4×502=2008．