参考答案：A(η+ξ_i)=Aη=b，i=0，1，2，…，n-r，(其中ξ₀=0)，故η+ξ_i，i=0，1，2，…，n-r均是AX=b的解向量．
设有数k₀，k₁，k₂，…，k_n-r，使得
k₀η+k₁(η+ξ₁)+k₂(η+ξ₂)+…+k_n-r(η+ξ_n-r)=0， (*)
(*)式左乘A，得 k₀Aη+k₁A(η+ξ₁)+k₂A(η+ξ₂)+…k_n-r(η+ξ_n-r)=0，
整理得 (k₀+k₁+…+k_n-r)b=0，其中b≠0．
故 k₀+k₁+…+k_n-r=0， (**)
代入(*)，得 k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n-rξ_n-r=0．
因ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r是对应齐次方程组的基础解系，线性无关，得k_i=0，i=1，2，…，n-r；
代入(**)，得k₀=0，从而有
η，η+ξ₁，η+ξ₂，…，η+ξ_n-r是AX=b的n-r+1个线性无关解．