（1）直接计算知：

f（2）=a+a^-1，f（3）=a²+a^-2+1，

（2）

f(1)

1

=1，

f(2)

2

=

1

2

(a+a-1)，

f(3)

3

=

a2+1+a-2

3

，

根据基本不等式

f(2)

2

=

1

2

(a+a-1)＞1=

f(1)

1

，

f(3)

3

-

f(2)

2

＞

f(3)

3

-[

f(2)

2

]2=

(a-a-1)2

12

＞0，

所以

f(3)

3

＞

f(2)

2

＞

f(1)

1

．

归纳：∀x＞0，

f(x+1)

x+1

＞

f(x)

x

．

记 g(x)=

f(x)

x

，x＞0，g/(x)=

xf/(x)-f(x)

x2

a

x2

×

x(ax+a-x)lna-(ax-a-x)

a2-1

，

设 h(x)=

x(ax+a-x)lna-(ax-a-x)

a2-1

，

则h（0）=0且 h/(x)=

x(ax-a-x)ln2a

a2-1

，

讨论知 h/(x)=

x(ax-a-x)ln2a

a2-1

＞0，

从而h（x）＞h（0）=0，g′（x）＞0，g（x）在R⁺上单调增加，

所以∀x＞0，

f(x+1)

x+1

＞

f(x)

x

．