已知圆C：x2+（y-1）2=5，直线l：mx-y+1-m=0（1）求证：对m∈

问题解答题

已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0
（1）求证：对m∈R，直线l与C总有两个不同的交点；
（2）设l与C交于A、B两点，若|AB|=

，求l的方程；
（3）设l与C交于A、B两点且k_OA+k_OB=2，求直线l的方程．

答案

（1）证明：把直线l的方程化为（x-1）m-y+1=0，由于m的任意性，

∴

x-1=0

-y+1=0

，解得x=1，y=1

∴直线l恒过（1，1）

∵1²+（1-1）²=1＜5

∴（1，1）在圆C：x²+（y-1）²=5的内部

∴对任意m∈R，直线L与圆C总有两个不同的交点

（2）由题意知，圆心C（0，1），半径R=

；

∵l与圆交于A、B两点且|AB|=

，

∴圆心C到l得距离d=

R2-(

|AB|)2

，

∵直线l：mx-y+1-m=0

∴

|0-1+1-m|

m2+1

，解得m=±3，

∴所求直线l为y-1=±

（x-1）

即

x-y+1-

=0或

x+y-1-

=0；

（3）将直线l：mx-y+1-m=0，即y-1=mx-m

代入圆C：x²+（y-1）²=5可得：x²+（mx-m）²=5

∴（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

2m2

1+m2

，x1x2=

m2-5

1+m2

∵k_OA+k_OB=2

∴

y1x2+y2x1

x1x2

∴

(mx1-m+1)x2+(mx2-m+1)x1

x1x2

∴

2mx1x2+(1-m)(x2+x1)

x1x2

∴2m×

m2-5

1+m2

+(1-m)×

2m2

1+m2

=2 ×

m2-5

1+m2

∴2m（m²-5）+2m²（1-m）=2（m²-5）

解得m=1

∴直线l的方程为y=x．