问题
解答题
已知正方形的外接圆方程为x2+y2-24x+a=0，A、B、C、D按逆时针方向排列，正方形一边CD所在直线的方向向量为（3，1）．
（1）求正方形对角线AC与BD所在直线的方程；
（2）若顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线E经过正方形在x轴上方的两个顶点A、B，求抛物线E的方程．
答案
（1）由（x-12）2+y2=144-a（a＜144），
可知圆心M的坐标为（12，0），
依题意，∠ABM=∠BAM=
，kAB=π 4
，设MA、MB的斜率k满足|1 3
|=1．k- 1 3 1+
k1 3
解得kAC=2，KBD=-
．1 2
∴所求BD方程为x+2y-12=0，AC方程为2x-y-24=0．
（2）设MB、MA的倾斜角分别为θ1，θ2，则tanθ1=2，tanθ2=-
，1 2
设圆半径为r，则A（12+
r，5 5
r），B（12-2 5 5
r，2 5 5
r），5 5
再设抛物线方程为y2=2px （p＞0），由于A，B两点在抛物线上，
∴
∴r=4(
r)2=2P(12-5 5
r)2 5 5 (
r)2=2p(12+2 5 5
r)5 5
，p=2．5
得抛物线方程为y2=4x．