AB、人开始时只受重力，则在绳张紧之前人做自由落体运动，速度增加，动能增加；

绳张紧后，绳的弹力开始增大，但开始时仍小于重力，故人继续加速，直到弹力等于人的重力；

此后，人受到的弹力大于重力，故人开始减速，速度减小；绳子继续伸长，弹力越来越大，合力向上越来越大，故加速度也越来越大；

由以上分析可知，人的速度是先增大后减小；加速度先保持不变，然后减小，后又增大，故A正确，B错误；

C、在人下落的最后，人的速度为零，故动能的变化为零，故C错误；

D、人下落的高度大于L，故重力做功大于mgL，故重力势能减小量大于mgL，故D错误；

故选A．