对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大

问题填空题

对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，这个函数[x]叫做“取整函数”，那么[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃243]=______．

答案

由题意可知：设[log₃a]=b

log₃a=b+x，a，b为整数

a=3^b+x，0≤x＜1，

因为y=3^x为单调增函数

当a在[1，2]时

因为3⁰=1，3¹=3

则0＜b+x＜1

所以b=0时，[log₃1]+[log₃2]=0

当a在[3，8]时

同理1＜b+x＜2

b=1时，[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃8]=1

b=2时，[log₃9]+[log₃10]+…+[log₃26]=2．

b=3时，[log₃27]+[log₃28]+…+[log₃80]=3．

b=4时，[log₃81]+[log₃82]+…+[log₃242]=4．

b=5时，[log₃243]=5．

∴[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃243]=1×6+2×18+3×54+4×162+5=857．