问题
解答题
在△ABC中，A，B，C为三个内角，f(x)=4cosxsin2(
（1）若f（B）=2，求角B； （2）若f（B）-m＞2有解，求实数m的取值范围； （3）求f(
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答案
（1）∵sin2(
+π 4
)=x 2
=1-cos(
+x)π 2 2
，1+sinx 2
∴f（x）=4cosx×
+1+sinx 2
cos2x-2cosx3
=2cosx+sin2x+
cos2x-2cosx3
=2sin(2x+
)．π 3
∵f（B）=2，∴2sin(2B+
)=2，∴sin(2B+π 3
)=1．π 3
∵0＜B＜π，∴
＜2B+π 3
＜2π+π 3
，π 3
∴2B+
=π 3
，解得B=π 2
．π 12
（2）由（1）可知：f（B）∈[-2，2]，
∵f（B）-m＞2有解，∴2+m＜[f（B）]max，∴2+m＜2，解得m＜0．
∴m的取值范围是（-∞，0）．
（3）∵f（x）的周期是π，且f(
)+f(π 4
)+f(2π 4
)+f(π)=2[sin(3π 4
+π 2
)+sin(π+π 3
)+sin(π 3
+3π 2
)+sin(2π+π 3
)]π 3
=2[cos
-sinπ 3
-cosπ 3
+sinπ 3
]=0．π 3
∴f(
)+f(π 4
)+f(2π 4
)+…+f(3π 4
)2003π 4
=500×4×0+f(
)+f(2001π 4
)+f(2002π 4
)=f(2003π 4
)+f(π 4
)+f(2π 4
)3π 4
=2×(-sin
)=-π 3
．3