问题 问答题

证明:ex+e-x+2cosx=5恰有两个实根.

答案

参考答案:[证] 令f(x)=ex+e-x+2cosx-5,则f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,且f(0)≠0.所以方程ex+e-x+2cosx=5恰有两个实根的充要条件是函数
f(x)=ex+e-x+2cosx-5
在区间(0,+∞)内有唯一零点.
由于

,所以根据广义零点定理可得,函数f(x)在区间(0,+∞)内至少有一个零点.
又因为f’(x)=ex-e-x-2sinx,f"(x)=ex+e-x-2cosx≥0,所以f(x)单调增加,而f’(0)=0,所以在区间(0,+∞)内f’(x)>0,从而f(x)在区间(0,+∞)内单调增加,故f(x)在区间(0,+∞)内最多有一个零点.
综上函数f(x)=ex+e-x+2cosx-5在区间(0,+∞)内有唯一零点,所以方程ex+e-x+2cosx=5恰有两个实根.

单项选择题 B型题
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