问题
问答题
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，f(0)=f(1)=0，对任意的x∈(0，1)，f"(x)＜0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M＞0，证明：对任何常数0＜k＜1，存在唯一的ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=kM．
答案
参考答案：[证] 由题设知存在c∈(0，1)使得f(C)=M．
令F(x)=f(x)-kMx，则F(C)=M-kMc=M(1-kc)＞0，F(1)=-kM＜0，由连续函数的性质知
使得F(η)=0．
由此函数F(x)在区间[0，η]上满足罗尔定理的全部条件，由罗尔定理知
使得F’(ξ)=f’(ξ)-kM=0，即f’(ξ)=kM．