参考答案：[证] 令F(x)=e^-xf(x)，
若存在x₀∈(0，1]，使得F(x₀)=0，则F(x)在区间[0，x₀]上满足罗尔定理的条件，所以由罗尔定理可得：存在ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)=f(ξ)．
若不存在x₀∈(0，1]，使得F(x₀)=0，则f(x)在区间(0，1]上恒正或恒负(否则与连续函数的零点定理矛盾)．不妨假设f(x)＞0，x∈(0，1]，则F(x)=e^-xf(x)在区间(0，1]上取到最大值，不妨设ξ∈(0，1]，使得

．下证明ξ∈(0，1)．由于
F’(x)=e^-x[f’(x)-f(x)]，所以F’_-(1)=-f(1)e^-1＜0． (*)
如果F(x)=e^-xf(x)在区问[0，1]上最大值点为ξ=l，则

，
这与(*)式矛盾，所以ξ∈(0，1)．
又因为对可导函数如果在开区间内收到最大值，则此点必定是驻点(费马定理)．所以F’(ξ)=0，即f’(ξ)=f(ξ)．