问题
问答题
已知函数g(x)在[a，b]上连续，函数f(x)在[a，b]上满足
_f"(x)+g(x)f’(x)-f(x)=0，
又f(a)=f(b)=0，证明：f(x)在[a，b]上恒为常数．
答案
参考答案：[证] 假设f(x)在[a，b]上不恒为常数．由于f(x)在[a，b]上连续，且f(a)=f(b)=0，所以存在一点c∈(a，b)，使得f(C)为f(x)在[a，b]上的最大(或最小)值，又因为f(x)在[a，b]上可导，从而有f’(C)=0，因此f"(C)-f(C)=0．
若f(C)为最大值，则f(C)＞0，从而f"(C)＞0，根据极值的第二充分条件可得：f(C)为极小值，矛盾．
若_f(C)为最小值，则f(C)＜0，从而f"(C)＜0，根据极值的第二充分条件可得：f(C)为极大值，矛盾．
所以f(x)在[a，b]上恒为常数．