问题
单项选择题
设函数f(x)=(x-x0)nφ(x)(n∈N)，其中φ(x)在点x0处连续，且φ(x0)＞0，则
(A) f(x)在x0处必取极值．
(B) f(x)在x0处必无极值．
(C) 当n为偶数时，f(x)在x0处必取极小值．
(D) 当n为奇数时，f(x)在x0处必取极大值．
答案
参考答案：C
解析： 因为φ(x)在点x0处连续，且φ(x0)＞0，所以存在δ＞0，使得当x∈(x0-δ，x0+δ)时，φ(x)＞0，而f(x)-f(x0)=(x-x0)n妒(x)，所以当n为偶数时，对(x0-δ，x0)和(x0，x0+δ)内的一切x都有
f(x)-f(x0)=(x-x0)nφ(x)＞0．
因此f(x)在点x0处必取极小值，故(C)成立．
同样分析当n为奇数时，f(x)在x0处必不取极值，所以(D)不正确．
对(A)，令φ(x)=1，n=1，则φ(x)在点x0处连续，且φ(x0)＞0，但f(x)无极值点．
对(B)，令φ(x)=1，n=2，则φ(x)在点x0处连续，且φ(x0)>0，但f(x)在x0处取极值．
所以应选(C)．