问题 问答题

设函数f(x)在[0,π]上连续,且

,证明:在(0,π)内至少有两个不同的点ξ,η,使得f(ξ)=f(η)=0.

答案

参考答案:[证] 根据积分中值定理,存在ξ∈(0,π),使得

,又因为

=0,所以f(ξ)=0.
下证在(0,π)内f(x)的零点不唯一.(反证法)
设ξ∈(0,π)是f(x)的唯一零带点,则当x≠ξ,x∈(0,π)时,有sin(x-ξ)f(x)必恒正或恒负(事实上,因为ξ∈e(0,π)是f(x)的唯一零点,所以f(x)在(0,ξ),(ξ,π)这两个区间上的值必一个恒为正,另一个恒为负,从而有sin(x-ξ)f(x)必恒正或恒负).因此


这与

矛盾,说明f(x)在(0,π)内零点的个数不止一个.所以在(0,π)内至少有两个不同的点ξ,η,使得f(ξ)=f(η)=0.

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