下列结论正确的是
(A) 若f’(x0)＞0，则在x0的某一邻域内，函数f(x)必为单调增加函数．
(B) 若函数f(x)为(a，b)内的严格单调增加函数，且f(x)在(a，b)内可导，则必有f’(x)＞0．
(C) 若f’(x0)＞0，则函数f(x)在x0的某一邻域内必有f(x)＞0成立．
(D) 若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’(x)在(a，b)内只有有限个点的值为零，其余为正，则f(x)在[a，b]上一定是严格单调增加的．
参考答案：D
解析： 对于(A)：例如函数
在x=0的任一邻域内，f’(x)有时为正，有时为负，故函数f(x)在x=0的任一邻域内都不是单调的．(A)不正确．
对于(B)：例如函数f(x)=x3在[-1，1]上严格单调增，且在(-1，1)内可导，但在点x=0有f’(0)=0．故(B)不正确．
[评注] 正确的命题是：若f(x)在(a，b)内严格单调增加且可导，则必有f’(x)≥0成立．
对于(C)：例如函数f(x)=x在[-1，1]内有f’(x)＞0，而当-1＜x＜0时，有f(x)＜0；当0＜x＜1时，有f(x)＞0，且当x=0时，有f(0)=0成立．故(C)不正确．
对于(D)：假设函数f(x)在[a，b]上不是严格单调增，则必存在a≤x1＜x2≤b，使f(x1)≥f(x2)成立．
若f(x1)＞f(x2)，则由拉格朗日中值定理可知，必存在
使
若f(x1)=f(x2)，则由f’(x)在[a，b]内只有有限个零点可知，f(x)在[x1，x2]上不会恒为常数．因而存在c∈(x1，x2)，使f(x1)=f(x2)≠f(C)，于是由拉格朗日中值定理可知，或者在(x1，c)内，或者在(c，x2)内必存在一点ξ，使f’(ξ)＜0，这与题设f’(x)≥0矛盾．故(D)正确．
综上分析，应选(D)．