问题
单项选择题
下列命题正确的是
(A) 若函数f(x)在(-∞，+∞)内处处可微，则其导函数f’(x)必处处连续．
(B) 若函数f(x)在点x0可微，则当△x→0时，△y与dy是同阶无穷小．
(C) 设函数y=f(u)二阶可导，则由dy=f’(u)du知
d2y=d[f’(u)du]=[f’(u)du]’du=f"(u)(du)2．
(D) 若函数f(x)在点x0可导，则f(x)在点x0可微分．
答案
参考答案：D
解析： 对于(A)：例如，函数
在(-∞，+∞)内处处可微，但f’(x)在点x=0处不连续．故(A)不正确．
对于(B)：例如，函数f(x)=x2在点x0=0的微分dy=0，它不是△y=(△x)2当△x→0时的同阶无穷小．故(B)不正确．
[评注] 一般地，若f’(x0)≠0，则dy=f’(x0)△x与△y为△x→0时的同阶无穷小．
对于(C)：当u为自变量时，结论成立．当u为中间变量时，可设u=φ(x)，其中x为自变量，则
d2y=d(dy)=[f’(u)φ’(x)]’(dx)2
=[f"(u)φ’(x)φ’(x)+f(u)φ"(x)](dx)2
=f"(u)(du)2+f’(u)d2u．
从而当u为中间变量时函数y=f(u)的二阶微分在形式上就不具有不变性，这就是我们为什么强调一阶微分形式具有不变性的原因．故(C)也不一定正确．
对于(D)：由命题“函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是函数f(x)在点x0可导”可知，(D)正确．
综上分析，应选(D)．
