问题
解答题
在平面直角坐标系xoy中，椭圆C为
（1）若一直线与椭圆C交于两不同点M、N，且线段MN恰以点（-1，
（2）若过点A（1，0）的直线l（非x轴）与椭圆C相交于两个不同点P、Q试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使
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答案
（1）∵点（-1，
）在椭圆内部，∴直线MN与椭圆必有公共点1 4
设点M（x1，y1），N（x2，y2），由已知x1≠x2，则有
+y12=1，x12 4
+y22=1x22 4
两式相减，得
=-（y1-y2）（y1+y2）(x1+x2)(x1-x2) 4
而x1+x2=-2，y1+y2=
，∴直线MN的斜率为11 2
∴直线MN的方程为4x-4y+5=0；
（2）假定存在定点E（m，0），
•PE
恒为定值λQE
由于直线l不可能为x轴，于是可设直线l的方程为x=ky+1，且设点P（x3，y3），Q（x4，y4），
将x=ky+1代入
+y2=1得（k2+4）y2+2ky-3=0．x2 4
显然△＞0，∴y3+y4=-
，y3y4=-2k k2+4 3 k2+4
∵
=（x3-m，y3），EP
=（x4-m，y4），，EQ
∴
•PE
=x3x4-m（x3+x4）+m2+y3y4=QE (m2-4)k2+4m2-8m+1 k2+4
若存在定点E（m，0），使
=λ为定值（λ与k值无关），则必有(m2-4)k2+4m2-8m+1 k2+4 m2-4=λ 4m2-8m+1=4λ
∴m=
，λ=17 8 33 64
∴在x轴上存在定点E（
，0），使17 8
•PE
恒为定值QE
．33 64