设过点P（1，1）的直线l：y=kx+b，

直线经过点（1，1）则得到：k+b=1…（1）

在y=kx+b中，令x=0，解得y=b．

令y=0，x=-

b

k

．根据直线与两坐标轴围成的三角形面积为2．

得到：

1

2

|-

b

k

|•|b|=2．即b²=4|k|…（2）

由（1）得：b=1-k．代入（2）得：1-2k+k²=4|k|…（3）

因为k＜0，（3）变形为：k²+2k+1=0．方程有两个相等负根；

总之，k的值有1个．

故选A．