问题 解答题

过点P(4,3)作直线l,直线l与x,y的正半轴分别交于A,B两点,O为原点,当|OA|+|OB|最小时,求直线l的方程.

答案

由题意可得:设直线的斜率为k,

因为直线l与x轴的正半轴,y轴的正半轴分别交于A、B两点,

所以得到k<0.

则直线l的方程为:y-3=k(x-4),整理可得:kx-y+3-4k=0,

令x=0,得y=3-4k,所以B(0,3-4k);

令y=0,得到x=4-

3
k
,所以A(4-
3
k
,0),

所以|OA|+|OB|=3-4k+4-

3
k
=7+(-4k)+
3
-k

因为k<0,则|OA|+|OB|=7+(-4k)+

3
-k
≥7+4
3

当且仅当-

3
k
=-4k,即k=±
3
2

因为k<0,所以k=-

3
2

所以直线l的方程为

3
x+2y-4
3
-6=0.

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