问题
问答题
如图，四棱锥P—ABCD中,PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠CDA=∠DAB=90°，AB=4，CD=1，AD=2.（1）建立适当的坐标系，并写出B、P的坐标；（2）求异面直线PA与BC所成的角；（3）若PB的中点为M，求证：平面AMC⊥平面PBC.
答案
参考答案：
(1)解：建立如上图所示的直角坐标系D—xyz,
∵∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2, ∴
A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0).
由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角.∴∠PAD=60°.
在Rt△PAD中，由AD=2，得
.
∴P(0,0,
).
(2)解：∵
=(2,0,
),
=(-2,-3,0),
∴
.
∴PA与BC所成的角为arccos
.
(3)证明：∵M为PB的中点， ∴点M的坐标为(1,2,
).
∴
=(-1,2,
),=(1,1,),=(2,4,
).
∵
=(-1)×2+2×4+
×(
)=0,
=1×2+1×4+
×(
)=0,
∴
,
.
∴PB⊥平面AMC. 又PB面PCB, ∴平面AMC⊥平面PBC.
启示：异面直线所成角的范围为(0,
).