问题
解答题
过点P（4，2）作相互垂直的直线l1和l2，使得l1与x轴的正半轴相交于点A，l2与y轴的正半轴相交于点B，若直线AB平分四边形OAPB的面积，求直线AB的方程．
答案
由题意，设A（a，0）、B（0，b）．则直线AB方程为
+x a
=1（a＞0，b＞0），y b
∵，PA⊥PB，∴
×2-0 4-a
=-1，化简得b=10-2a．2-b 4-0
∵b＞0，∴0＜a＜5．直线AB的一般式方程为bx+ay-ab=0
∴点P（4，2）到直线AB的距离为d1=
．|4b+2a-ab| a2+b2
又∵原点O到直线AB的距离为d2=
，|-ab| a2+b2
∵四边形OAPB的面积被直线AB平分，∴d1=d2，
∴4b+2a-ab=±ab，又∵b=10-2a．
解得
或a=4 b=2
，a= 5 2 b=5
∴所求直线AB的方程为x+2y-4=0或2x+y-5=0．