问题
单项选择题
当x≠0时设
下述命题
①对任意x＞0，在0＜|x|＜X上f(x)有界，但在(-∞，+∞)(x≠0)上f(x)无界．
②在(-∞，+∞)(x≠0)上f(x)有界．
③g(x)在x=0的去心邻域内无界，但
④
正确的是
答案
参考答案：C
解析：因为[*]，所以存在δ＞0，在0＜|x|＜δ上f(x)有界．又[*]1，所以存在X＞0，在|x|＞X上[*]有界．而函数sinx是有界的，所以在|x|＞x上f(x)有界．而在区间[-X，-δ，[δ，X]上f(x)是连续的，所以是有界的，于是知在(-∞，+∞)上f(x)是有界的．②正确．
以下证明③也是正确的．对于任给的M＞0，取[*]，有
[*]
当[*]时，f(xn)＞M．即对于任给的M＞0，总存在xn，其中[*](这种n总是有的)，使g(xn)＞M，说明g(x)在x=0的去心邻域内无界．但另一方面，若取[*]则有g(x’n)=0．此说明
[*]
所以③正确．选(C)．
[评注] 将来到第二章还会见到用导数讨论函数的有界(无界)问题．