设f(x)=x-(ax+bsinx)cosx,并设
存在且不为零,求常数a、b及此极限值.
参考答案:[解] 方法1 所给极限为[*]并且f(x)及x5在x=0的某邻域可求任意阶导数.用洛必达法则,当下式右边极限存在或为∞时,下式左边应与右边相等:
[*]
当x→0时,上式右边分子趋于1-(a+b).若1-(a+b)≠0,则上式趋于∞,从而与题设[*]存在相矛盾.故
1-(a+b)=0.
于是所求极限的右边为[*]再用洛必达法则,当下式右边极限存在或为∞时,下式左边与右边相等:
[*]
上式右边为[*]再用洛必达法则,当下式右边极限存在或为∞时,下式左边应与右边相等.
[*]
与上述推导的理由类似推知
3a+4b=0.
将它与1-(a+b)=0联立,解得a=4,b=-3.再用洛必达法则,得到
[*]
以a=4,b=-3,代入上式,得原极限为[*]
方法2 上述方法1用洛必达法则推导,运算麻烦,可否用洛必达法则要讨论(要步步讨论).若用佩亚诺余项泰勒公式展开分子至o(x5),将是十分方便.由
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有
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由题设
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存在且不为零,所以
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解得a=4,b=-3,从而
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解析:[评注] 在可以用佩亚诺余项泰勒公式情况下,用它比用洛必达法则要快不少.