参考答案：[解] 引入函数f(x)=lnx-kx，它的定义域是(0，+∞)，且[*]．
若k≤0，由f’(x)＞0知f(x)在(0，+∞)单调增加，且
[*]
从而f(x)=0在(0，+∞)中有且仅有一个根．
当k＞0时，注意 [*]
可见f(x)在[*]单调上升，在[*]单调下降，在[*]取得最大值[*]．又[*]，于是当[*]，即[*]时f(x)=0有且仅有二根x₁和x₂，它们分别满足[*]．
若[*]，f(x)在[*]取得最大值f(e)=lne-1=0，于是f(x)=0有且仅有一根x₁=e．
若[*]，f(x)在[*]取得最大值[*]，于是f(x)恒负，没有零点．
综合以上讨论，可得
[*]

解析：本题主要考查连续函数的重要性质，函数的单调性和最值等有关内容．
引入函数f(x)=lnx-kx，确定方程lnx=kx的正根个数问题就化为确定函数f(x)的零点的个数问题．
由连续函数的重要性质知，若连续函数f(x)在区间[a，b]的端点反号，则在区间(a，b)中必存在f(x)的零点，而且当f(x)在区间(a，b)中单调时，还可以断定f(x)在(a，b)中有且仅有一个零点．按照这样的分析知，应当首先弄清f(x)的单调区间，并研究它在单调区间的端点是否反号．
注意，当单调区间是无界区间时，可用函数在端点的极限值来代替函数在端点的值．
[*]