问题
问答题
已知矩阵
和
，
(Ⅰ) 证明矩阵A与B合同，并求可逆矩阵C，使CTAC=B；
(Ⅱ) 如果A+kE与B+kE合同，求k的取值．
答案
参考答案：(Ⅰ) 由矩阵A和B分别得到二次型
[*]
那么经坐标变换
[*] 即 [*]
有 [*]
所以矩阵A与B合同．
令[*]，则有CTAC=B．
(Ⅱ) 由[*]
知矩阵A的特征值是1，1，-1，进而可知A+kE的特征值是k+1，k+1，k-1；B+kE的特征值是k+2，k+1，k-2．
当k＞2时，二次型xT(A+kE)x与xT(B+kE)X均有正惯性指数p=3，而负惯性指数q=0；
当-1＜k＜1时，二次型xT(A+kE)x与xT(B+kE)x均有正惯性指数p=2，而负惯性指数q=0；
当k＜-2时，二次型xT(A+kE)x与xT(B+kE)x均有正惯性指数p=0，而负惯性指数q=3．
所以A+kE与B+kE合同[*]{k＞2}∪{-1＜k＜1}∪{k＜-2}．
[*]