参考答案：f(x)=x²(x≥0)

解析：[分析一] 由定积分的几何意义知：
[*]=由曲线y=f(x)，x、y轴及直线x=t＞0所围成的曲边梯形的面积，
[*]=由曲线x=g(y)，y轴(y≥f(0))及直线y=f(t)所围成的曲边三角形的面积．
x=g(y)与y=f(x)互为反函数，代表同一条曲线，它们面积之和是长方形面积(边长分别为t与f(t))，见右图．
[*]
于是 [*]
因此tf(t)=t³，f(t)=t²(t≥0)，
即 f(x)=x²(x≥0)．
[分析二] 先化简题设方程的左端式子，有
[*]
于是 [*]
即 tf(t)=t³，f(t)=t²(t≥0)．
因此 f(x)=x²(x≥0)．
[分析三] 将题设方程两边求导得
[*]
即 f(t)+g[f(t)]f’(t)=3t²，
f(t)+tf’(t)=3t²，
亦即 [tf(t)]’=3t²
(原方程中令t=0，等式自然成立，不必另加条件)．将上式积分得
tf(t)=t³+C，即[*]．
因f(t)在[0，+∞)连续，故必有C=0．
因此f(x)=x²(x≥0)．