已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为63，椭圆C上任意一点

问题解答题

已知椭圆C：

=1 (a＞b＞0)的离心率为

，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx-2与椭圆C交与A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程．

答案

（Ⅰ）由已知2a=6，

，

解得a=3，c=

，

所以b²=a²-c²=3，

所以椭圆C的方程为

=1．

（Ⅱ）由

y=kx-2

得，（1+3k²）x²-12kx+3=0，

直线与椭圆有两个不同的交点，所以△=144k²-12（1+3k²）＞0，

解得k2＞

．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则x1+x2=

12k

1+3k2

，x1x2=

1+3k2

，

计算y1+y2=k(x1+x2)-4=k•

12k

1+3k2

-4=-

1+3k2

，

所以，A，B中点坐标为E(

1+3k2

，-

1+3k2

)，

因为|PA|=|PB|，所以PE⊥AB，k_PE•k_AB=-1，

所以

1+3k2

-1

1+3k2

•k=-1，

解得k=±1，

经检验，符合题意，

所以直线l的方程为x-y-2=0或x+y+2=0．