如图所示,粗细均匀的玻璃管,当温度为27℃时,封闭在管内的空气柱AB长为30cm,BC长为10cm,管内水银柱水平部分CD长为18cm,竖直部分DE长为15cm,外界大气压强为75cmHg,问:要使水平管内没有水银柱,温度至少要升高到多少℃?
现有某同学的解法如下:
以ABC管中的气体为研究对象,各状态参量如下:p1=(75-15)cmHg=60cmHgV1=(30+10)cm-S=40cm-S(式中S为玻璃管的横截面)T1=300K.要使水平管内没有水银柱,则气体膨胀到D处,这时气体的状态参量如下:p2=(75-15-18)cmHg=42cmHgV2=(30+10+18)cm-S=58cm-S(式中S为玻璃管的横截面)T2=?
因为
=p1V1 T1
,将上述各已知量代入,可求得T2=304.5K,t2=31.5℃p2V2 T2
所以要使水平管内没有水银柱,温度至少要升高到31.5℃
已知上述计算无误,请问该同学求得的结果是否正确?倘若有错,请求出正确结果.

该同学求得的结果有错.
设当温度升高到T2时,水平玻璃管右端还有xcm长的水银柱,则有
p2=75-(18+15-x)=(42+x)cmHg(2分),V2=(30+28-x)S=(58-x)cm?S
由
=p1V1 T1
,得p2V2 T2
=60×40 300 (42+x)(58-x) T2
T2=-0.125x2+2x+304.5
可求得,当x=8cm时,T2有最大值312.5K(1分),即39.5℃.
画出T2随x变化的大致图象(如图所示):从图象中不难发现,当玻璃管中气体的温度逐渐升高时x从18cm起逐渐减小,当气体温度升高到304.5K时x并不为零,只要气体温度不超过312.5K(39.5℃),水平管中总有水银柱,所以要使水平管内没有水银柱,温度至少要升高到39.5℃.
答:该同学求得的结果有错,正确的结果是温度至少要升高到39.5℃.