已知M（0，-2），点A在x轴上，点B在y轴的正半轴，点P在直线AB上

问题解答题

已知M（0，-2），点A在x轴上，点B在y轴的正半轴，点P在直线AB上，且满足

，

•

=0．
（1）当A点在x轴上移动时，求动点P的轨迹C的方程；
（2）过（-2，0）的直线l与轨迹C交于E、F两点，又过E、F作轨迹C的切线l₁、l₂，当l₁⊥l₂时，求直线l的方程．

答案

（1）设P（x，y），A（x_A，0），B（0，y_B），y_B＞0．则

=（x-x_A，y），

=（-x，y_B-y）．

由

，得

x-xA=-x

y=yB-y

即x_A=2x，y_B=2y．

又

=（x_A，2），

=（x-x_A，y），

∴

=（2x，2），

=（-x，y）．

由

•

=0得x²=y（y≥0）．

（2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），

因为y′=2x，故两切线的斜率分别为2x₁、2x₂．

由方程组

x2=y

y=k(x+2)

得x²-kx-2k=0，

x₁+x₂=k，x₁x₂=-2k．

当l₁⊥l₂时，4x₁x₂=-1，所以k=

．

所以，直线l的方程是y=

（x+2）．