问题
问答题
设A和B均是m×n矩阵，r(A) +r(B) =n，若BBT=E且B的行向量是齐次方程组Ax=0的解，P是m阶可逆矩阵，证明：矩阵PB的行向量是Ax=0的基础解系．
答案
参考答案：由r(B)≥r(BBT)=r(E)=m，及B是m×n矩阵，r(B)≤m得到r(B)=m．于是B的行向量组线性无关，且n-r(A)=m．
由于B的行向量是齐次方程组Ax=0的解，则ABT=0，于是A(PB)T=ABTPT=0PT=0．因此，PB的m个行向量是Ax=0的解．
又因矩阵P可逆，于是r(PB)=r(B)=m，从而PB的行向量线性无关．所以PB的行向量是Ax=0的基础解系．
