参考答案：方法一 A是3阶矩阵．每行元素之和为3，即有
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故知A有λ₃=3，ξ₃=[1，1，1]^T．
又A是实对称阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，故设λ₁=λ₂=1的特征向量为ξ=[x₁，x₂，x₃]T应有
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解得λ₁=λ₂=1的线性无关特征向量为
ξ₁=[-1，1，0]^T，ξ₂=[-1，0，1]^T．
取 [*]
故 A=PΛP^-1，Aⁿ=PΛP^-1…PΛP^-1-PΛⁿP^-1．
其中P^-1可如下求得：
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方法二 由方法一，得
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设λ₁=λ₂=1对应的特征向量为ξ=[x₁，x₂，x₃]^T，则应有
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取ξ₁=[1，-1，0]^T，再取ξ₂与ξ₁正交，设ξ₂=[1，1，x]^T，代入上式得ξ₂=[1，1，-2]^T，将ξ₁，ξ₂，ξ₃单位化，并取正交阵
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则 [*]
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[注] 因A是实对称阵，故不同特征值对应的特征向量应正交，且不但存在可逆阵，使P^-1AP=Λ，还存在正交阵，使
Q^-1AQ=Q^TAQ=Λ．
方法二中利用正交阵Q有Q^-1=Q^T，避免了初等变换求逆，较简便．