问题
问答题
设A是3阶实对称矩阵,已知A的每行元素之和为3,且有二重特征值λ1=λ2=1.求A的全部特征值、特征向量,并求An.
答案
参考答案:方法一 A是3阶矩阵.每行元素之和为3,即有
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故知A有λ3=3,ξ3=[1,1,1]T.
又A是实对称阵,不同特征值对应的特征向量相互正交,故设λ1=λ2=1的特征向量为ξ=[x1,x2,x3]T应有
[*]
解得λ1=λ2=1的线性无关特征向量为
ξ1=[-1,1,0]T,ξ2=[-1,0,1]T.
取 [*]
故 A=PΛP-1,An=PΛP-1…PΛP-1-PΛnP-1.
其中P-1可如下求得:
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[*]
[*]
方法二 由方法一,得
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设λ1=λ2=1对应的特征向量为ξ=[x1,x2,x3]T,则应有
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取ξ1=[1,-1,0]T,再取ξ2与ξ1正交,设ξ2=[1,1,x]T,代入上式得ξ2=[1,1,-2]T,将ξ1,ξ2,ξ3单位化,并取正交阵
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则 [*]
[*]
[注] 因A是实对称阵,故不同特征值对应的特征向量应正交,且不但存在可逆阵,使P-1AP=Λ,还存在正交阵,使
Q-1AQ=QTAQ=Λ.
方法二中利用正交阵Q有Q-1=QT,避免了初等变换求逆,较简便.