问题 填空题
(1)设曲线C的参数方程为
x=2+3cosθ
y=-1+3sinθ
,直线l的参数方程为
x=1+2t
y=1+t
(t为参数),则直线l被曲线C截得的弦长为______.
(2)已知a,b为正数,且直线2x-(b-3)y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直,则2a+3b的最小值为______.
答案

(1)曲线C的参数方程为

x=2+3cosθ
y=-1+3sinθ

可得

3cosθ=x-2
3sinθ=y+1
,结合cos2θ+sin2θ=1,可得

曲线C的直角坐标方程为:(x-2)2+(y+1)2=9

它是以M(2,-1)为圆心,半径为3的圆

∵直线l的参数方程为

x=1+2t
y=1+t
(t为参数),

∴消去参数t得直线l的直角坐标方程为:x-2y+1=0

∴点M到直线l的距离为d=

|2-2×(-1)+1|
12+(-2)2
=
5

设直线l被曲线C截得的弦长为m,可得(

1
2
m)2+d2=R2=9

∴m=2

9-d2
=4

(2)∵直线2x-(b-3)y+6=0的斜率为k1=

2
b-3

直线bx+ay-5=0斜率为k2=-

b
a
,且两互相垂直∴

k1k2=

2
b-3
•(-
b
a
)=-1⇒3a+2b=ab⇒
2
a
+
3
b
=1

∴2a+3b=(

2
a
+
3
b
)(2a+3b)=13+
6a
b
+
6b
a

∵a,b为正数

6a
b
+
6b
a
≥2
6a
b
6b
a
=12

当且仅当a=b=5时,等号成立,

可得2a+3b的最小值为13+12=25

故答案为:4,25

单项选择题
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