问题
填空题
(1)设曲线C的参数方程为
(2)已知a,b为正数,且直线2x-(b-3)y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直,则2a+3b的最小值为______. |
答案
(1)曲线C的参数方程为
,x=2+3cosθ y=-1+3sinθ
可得
,结合cos2θ+sin2θ=1,可得3cosθ=x-2 3sinθ=y+1
曲线C的直角坐标方程为:(x-2)2+(y+1)2=9
它是以M(2,-1)为圆心,半径为3的圆
∵直线l的参数方程为
(t为参数),x=1+2t y=1+t
∴消去参数t得直线l的直角坐标方程为:x-2y+1=0
∴点M到直线l的距离为d=
=|2-2×(-1)+1| 12+(-2)2 5
设直线l被曲线C截得的弦长为m,可得(
m)2+d2=R2=91 2
∴m=2
=49-d2
(2)∵直线2x-(b-3)y+6=0的斜率为k1=
,2 b-3
直线bx+ay-5=0斜率为k2=-
,且两互相垂直∴b a
∴k1k2=
•(-2 b-3
)=-1⇒3a+2b=ab⇒b a
+2 a
=13 b
∴2a+3b=(
+2 a
)(2a+3b)=13+3 b
+6a b 6b a
∵a,b为正数
∴
+6a b
≥26b a
=12
•6a b 6b a
当且仅当a=b=5时,等号成立,
可得2a+3b的最小值为13+12=25
故答案为:4,25