设不等边三角形ABC的外心与重心分别为M、G，若A（-1，0），B（1

问题解答题

设不等边三角形ABC的外心与重心分别为M、G，若A（-1，0），B（1，0）且MG∥AB．

（Ⅰ）求三角形ABC顶点C的轨迹方程；

（Ⅱ）设顶点C的轨迹为D，已知直线L过点（0，1）并且与曲线D交于P、N两点，若O为坐标原点，满足OP⊥ON，求直线L的方程．

答案

（I）设C（x，y）（xy≠0），∵MG∥AB，可设G（a，b），则M（0，b）．

∴a=

-1+1+x

，b=

0+o+y

，即 x=3a，y=3b （1）．

∵M是不等边三解形ABC的外心，∴|MA|=|MC|，即

1+b2

x2+(b-y)2

（2）．

由（1）（2）得 x2+

= 1．所以，三角形顶点C的轨迹方程为 x2+

= 1，（xy≠0）．

（II）设直线l的方程为 y=kx+1，P（ x₁，y₁），N （x₂，y₂），

由

y = kx + 1

x2+

= 1

消y得（3+k²）x²+2kx-2=0．∵直线l与曲线D交于P、N两点，

∴△=b²-4ac=4k²+8（3+k²）＞0，x₁+x₂=-

3+k2

，x₁•x₂=-

3+k2

．

∵OP⊥ON，∴x₁•x₂+y₁y₂=0，∴x₁•x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0．

∴1+k²（-

3+k2

）+k （-

3+k2

）+1=0，∴k=±

，

∴直线l的方程为 y=±

x+1．