对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f

问题解答题

对于函数f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么称h（x）为f₁（x），f₂（x）的生成函数．
（Ⅰ）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f₁（x），f₂（x）的生成函数？并说明理由；
第一组：f1(x)=sinx， f2(x)=cosx， h(x)=sin(x+

)；
第二组：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1；
（Ⅱ）设f1(x)=log2x， f2(x)=log

x， a=2， b=1，生成函数h（x）．若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）设f1(x)=x， f2(x)=

(1≤x≤10)，取a=1，b＞0，生成函数h（x）使h（x）≥b恒成立，求b的取值范围．

答案

（Ⅰ）①设asinx+bcosx=sin(x+

)，即asinx+bcosx=

sinx+

cosx，

取a=

， b=

，所以h（x）是f₁（x），f₂（x）的生成函数．（2分）

②设a（x²+x）+b（x²+x+1）=x²-x+1，即（a+b）x²+（a+b）x+b=x²-x+1，

则

a+b=1

a+b=-1

b=1

，该方程组无解．

所以h（x）不是f₁（x），f₂（x）的生成函数．（4分）

（Ⅱ）h(x)=2f1(x)+f2(x)=2log2x+log

x=log2x（5分）

若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，

3h²（x）+2h（x）+t＜0，即t＜-3h²（x）-2h（x）=-3log₂²x-2log₂x（7分）

设s=log₂x，则s∈[1，2]，y=-3log₂²x-2log₂x=-3s²-2s，（9分）

y_max=-5，故，t＜-5．（10分）

（Ⅲ）由题意，得h(x)=x+

(1≤x≤10)

1°若

∈[1， 10]，则h（x）在[ 1 ，

]上递减，在[

，10]上递增，

则hmin=h(

)=2

，

所以

1≤

≤10

≥b

，得1≤b≤4（12分）

2°若

≤1，则h（x）在[1，10]上递增，则h_min=h（1）=1+b，

所以

≤1

1+b≥b

，得0＜b≤1．（14分）

3°若

≥10，则h（x）在[1，10]上递减，则hmin=h(10)=10+

，故

≥10

10+

≥b

，无解

综上可知，0＜b≤4．（16分）