问题 解答题

定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x3

(1)求f(x)在[1,5]上的表达式;

(2)若A={x|f(x)>a,x∈R},且A≠ф,求实数a的取值范围.

答案

(1)由f(x+2)=-f(x),

∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4

(1)当x∈[3,5]时,x-4∈(-1,1],

∴f(x-4)=(x-4)3

又T=4,

∴f(x)=f(x-4)=(x-4)3,3≤x≤5

(2)当x∈[1,3]时,x-2∈[-1,1],

∴f(x-2)=(x-2)3

又f(x)=-f(x-2)=-(x-2)3,1≤x≤3,

故f(x)=

-(x-2)3     1≤x≤3
(x-4)3       3≤x≤5

(2)∵f(x)的周期函数,

∴f(x)的值域可以从一个周期来考虑

x∈[1,3]时,f(x)∈(-1,1]

x∈[3,5]时,f(x)∈[-1,1]

∴f(x)>a,对x∈R有空解,

∴a<1

单项选择题
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