问题
解答题
已知直线y=-2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ（O为坐标原点），记点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l2是曲线C的一条切线，当点（0，2）到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程．
答案
（1）设点P的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（x，-2）．
∵OP⊥OQ，∴kOP•kOQ=-1．
当x≠0时，得
•y x
=-1，化简得x2=2y．（2分）-2 x
当x=0时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故x≠0．
∴曲线C的方程为x2=2y（x≠0）．（4分）
（2）∵直线l2与曲线C相切，∴直线l2的斜率存在．
设直线l2的方程为y=kx+b，（5分）
由
得x2-2kx-2b=0．y=kx+b x2=2y
∵直线l2与曲线C相切，
∴△=4k2+8b=0，即b=-
．（6分）k2 2
点（0，2）到直线l2的距离d=
=|-2+b|
+1k 2
•1 2
（7分）=
+4k 2
+1k 2
(1 2
+
+1k 2
)（8分）≥3
+1k 2
×21 2
（9分）=
•
+1k 2 3
+1k 2
．（10分）3
当且仅当
=
+1k 2
，即k=±3
+1k 2
时，等号成立．此时b=-1．（12分）2
∴直线l2的方程为
x-y-1=0或2
x+y+1=0．（14分）2
