（1）由点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为

5π

6

，可得

b

a

=

3

3

，

∵

1

2

ab=

1

2

×

3

2

×

a2+b2

，得a=

3

，b=1，

∴椭圆方程是：

x2

3

+y2=1   （3分）

（2）设MN：x=ty+1（t＜0）代入

x2

3

+y2=1，得（t²+3）y²+2ty-2=0，

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

MD

=2

DN

，得y₁=-2y₂．

由y₁+y₂=-y₂=-

2t

t2+3

，y₁y₂=

-2

t2+3

    （6分）

得-2(

2t

t2+3

)2=

-2

t2+3

，∴t=-1，t=1（舍去）

直线MN的方程为：x=-y+1即x+y-1=0    （8分）

（3）将y=kx+2代入

x2

3

+y2=1，得（3k₂+1）x²+12kx+9=0（*）

记P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），PQ为直径的圆过D（1，0），则PD⊥QD，即（x₃-1）（x₄-1）+y₃y₄=0，

又y₃=kx₃+2，y₄=kx₄+2，得（k²+1）x₃x₄+（2k-1）（x₃+x₄）+5=0       ①

又x₃+x₄=-

12k

3k2+1

，x₃x₄=

9

3k2+1

，代入①解得k=-

7

6

   （11分）

此时（*）方程△＞0，∴存在k=-

7

6

，满足题设条件．      （12分）