问题
问答题
已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a＞0，证明：当
时，
；
(3)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′(x0)＜0．
答案
参考答案：
f(x)的定义域为(0，+∞)，
.
①若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在(0，+∞)单调递增．
②若a＞0时，由f′(x)=0得
，
且当
时，f′(x)＞0；当
时，f′(x)＜0．
所以f(x)在
单调递增，在
单调递减．
(2)设函数
，则
g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax，
．
当
时，g′(x)＞0，而g(0)=0，所以g(x)＞0．
故当
时，
．
(3)由(1)可得，当a≤0时，函数y=f(x)的图象与x轴至多有一个交点，故a＞0，f(x)的最大值为
，且
．
不妨设A(x1，0)，B(x2，0)，0＜x1＜x2，则
．
由(2)得
．
从而
，于是
．
由(1)知，f′(x0)＜0．