问题 计算题

如图所示,三个质量均为m的弹性小球用两根长均为L的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上。现给中间的小球B一个水平初速度v0,方向与绳垂直。小球相互碰撞时无机械能损失,轻绳不可伸长。求:

(1)当小球A、C第一次相碰时,小球B的速度;

(2)当三个小球再次处在同一直线上时,小球B的速度;

(3)运动过程中小球A的最大动能EKA和此时两根绳的夹角θ;

(4)当三个小球处在同一直线上时,绳中的拉力F的大小。

答案

解:(1)设小球A、C第一次相碰时,小球B的速度为vB,考虑到对称性及绳的不可伸长特性,小球A、C沿小球B初速度方向的速度也为vB,由动量守恒定律,得

由此解得

(2)当三个小球再次处在同一直线上时,则由动量守恒定律和机械能守恒定律,得

解得(三球再次处于同一直线)

(初始状态,舍去)

所以,三个小球再次处在同一直线上时,小球B的速度为(负号表明与初速度反向)

(3)当小球A的动能最大时,小球B的速度为零。设此时小球A、C的速度大小为u,两根绳间的夹角为θ(如图),则仍由动量守恒定律和机械能守恒定律,得

 

另外

由此可解得,小球A的最大动能为,此时两根绳间夹角为

(4)小球A、C均以半径L绕小球B做圆周运动,当三个小球处在同一直线上时,以小球B为参考系(小球B的加速度为0,为惯性参考系),小球A(C)相对于小球B的速度均为

所以,此时绳中拉力大小为

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