平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，-c），F2（0，c），A（3c

问题解答题

平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F₁（0，-c），F₂（0，c），A（

c，0）三点，其中c＞0．
（1）求⊙M的标准方程（用含c的式子表示）；
（2）已知椭圆

=1(a＞b＞0)（其中a²-b²=c²）的左、右顶点分别为D、B，⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．
①求椭圆离心率的取值范围；
②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF₁与直线DF₂的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．

答案

（1）设⊙M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，

则由题设，得

c2-Ec+F=0

c2+Ec+F=0

3c2+

Dc+F=0

解得

D=-

E=0

F=-c2

⊙M的方程为x2+y2-

cx-c2=0，

⊙M的标准方程为(x-

c)2+y2=

c2；（5分）

（2）⊙M与x轴的两个交点A(

c，0)，C(-

c，0)，

又B（b，0），D（-b，0），

由题设

c＞b

c＞-b

即

c＞b

c＜b

所以

3c2＞a2-c2

c2＜a2-c2

解得

＜

，

即

＜e＜

．所以椭圆离心率的取值范围为(

，

)；（10分）

（3）由（1），得M(

c，0)．

由题设，得

c-b=b-

c．

∴b=

c，D(-

c，0)．

∴直线MF₁的方程为

=1，

①直线DF₂的方程为-

=1．

②由①②，得直线MF₁与直线DF₂的交点Q(

c，3c)，

易知kOQ=

为定值，

∴直线MF₁与直线DF₂的交点Q在定直线y=

x上．（15分）