问题 解答题

已知点P(2,-1),求:

(1)过P点与原点距离为2的直线l的方程;

(2)过P点与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?

(3)是否存在过P点与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.

答案

(1)过P点的直线l与原点距离为2,而P点坐标为(2,1),可见,

过P(2,1)垂直于x轴的直线满足条件.

此时l的斜率不存在,其方程为x=2.

若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.

由已知,过P点与原点距离为2,得

|-2k-1|
k2+1
=2,解之得k=
3
4

此时l的方程为3x-4y-10=0.综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.

(2)作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线,由l⊥OP,得kl•kOP=-1,

所以kl=-

1
kOP
=2.由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0,

即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线,最大距离为

|-5|
5
=
5

(3)由(2)可知,过P点不存在到原点距离超过

5
的直线,因此不存在过P点且到原点距离为6的直线.

单项选择题
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