参考答案：令f(x)=(1+x)^p，g(x)=1+x^p，
f(0)=g(0)=1，f(x)，g(x)连续 (x＞0)．
因为当x＞0时，
[*]
所以有 f(x)＜g’(x) (x＞0)．
又令 ψ(x)=f(x)-g(x)，
于是有 ψ’(x)=f’(x)-g’(x)＜0．
而 ψ(0)=f(0)-g(0)=0，
在[0，x]上，对ψ(x)应用拉格朗日定理，
有 ψ(x)=ψ(x)-ψ(0)=ψ’(ξ)(x-0)＜0，ξ∈(0，x).
即当x＞0时，ψ(x)=f(x)-g(x)＜0，亦即当x＞0时，f(x)＜g(x)．
因此，(1+z)^p＜1-x^p (x＞0)．
[*]
所以，(a+b)^p＜a^p+b^p．
(原式中等号仅当a与b中至少有一个为零时成立．)

解析：

[分析]： 当a=0或b=0时，原式显然成立．
设a＞0，b＞0，欲证
[*]
只要证明：当x＞0，f(x)=(1+x)^p，g(x)=1+x^p时，有
f(x)＜g(x)．
而要证明①式成立，可令ψ(x)=f(x)-g(x)，并在[0，x]上对ψ(x)应用拉格朗日定理即可．