设y1=ex，y2=ex+e2x，y3=ex+e-x是二阶常系数非齐次微分方程y’’

问题填空题

设y₁=e^x，y₂=e^x+e^2x，y₃=e^x+e^-x是二阶常系数非齐次微分方程y’’+Py’+qy=f(x)的三个特解，则该方程为______．

答案

参考答案：y’’-y’-2y=-2e^x

解析：由题设可知，y₂-y₁=e^2x，y₃-y₁=e^-x为对应齐次方程的解，所以对应方程的特征根为λ₁=2，λ₂=-1，特征方程为(λ-2)(λ+1)=0，即λ²-λ-2=0，所以对应齐次方程为y’’-y’-2y=0，于是原方程为y’’-y’-2y=f(x)，将y₁=e_x代入方程可得f(x)=-2e^x，
故该方程为y’’-y’-2y=-2e^x．