问题
问答题
设总体X的概率密度为
其中θ(0＜θ＜0.5)是未知参数，从总体X中抽取样本值如下：
0.3，1.8，0.2，0.1，0.4，2.1，1.9,2.6，0.4，0.2，
求：(Ⅰ)θ的矩估计值；
(Ⅱ)θ的最大似然估计值．
答案
参考答案：(Ⅰ)由于
[*]
样本平均值为[*]=1，令μ=[*]，即
2-3.50=1．
解得[*]，因此θ的矩估计值为[*]=0.29．
(Ⅱ)对于给定的样本值，似然函数为
[*]
取对数，得
lnL(θ)=6(ln4+lnθ)+4ln(0.5-θ)
=6(ln4+lnθ)+4[ln(1-2θ)-ln2]，
将lnL(θ)对θ求导数并令其等于零，得
[*]
解得θ=0.3，即θ的最大似然估计值为
[*]=0.3.
解析：
[分析]： 算出E(X)及样本值的平均值[*]，即可得到θ的矩估计值。根据样本值正确地写出似然函数L(θ)的表达式，是求θ的最大似然估计值的关键．对于样本值x1，x2…，xn，似然函数[*]．当x1=0.3时，(0.3；θ)=4θ；当x2=1.8时，f(1.8；θ)=0.5-θ；…；当x10=0.2时，f(0.2；θ)=4θ．对于给定的样本值，在(0，0.5)内的有6个数，在(1，3)内的有4个数，因此似然函数L(θ)=(4θ)6(0.5-θ)4．