参考答案：(Ⅰ) 作极坐标变换化二重积分为定积分．
令x=rcosθ，y=rsinθ，则D：0≤0≤2π，0≤r≤1．于是

(Ⅱ) 利用单调性证明不等式．
令

，则f(x)在[0，+∞)内有二阶连续导数，且

因sinx＜x(x＞0)

f"(x)＞0(x＞0)

f’(x)在[0，+∞)单调上升，f’(x)＞f’(0)=0(x＞0)

f(x)在[0，+∞)单调上升，f(x)＞f(0)=0(x＞0)，即

(Ⅲ) 由题(Ⅰ)，估计

转化为估计定积分

，再利用sinx的不等式(题(Ⅱ)的不等式及sinx＜x(x＞0))来估计这个定积分．
由

上 式两边在[0，1]上积分得

又

因此