问题
多项选择题
(1)证明积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则存在ξ∈[a,b]使
[*]
(2)若φ(x)有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞[*]dx出，证明至少存在一点ξ∈(1,3),使得φ"(ξ)＜0.
答案
参考答案：设M和m分别是连续函数f(x)在区间[a，b](b＞a)上的最大值和最小值，则有
m(b-a)≤[*]f(x)dx≤M(b-a)．
不等式两边同除以(b-a)，得到m[*]显然[*]是介于函数f(x)的最大值和最小值之间的．根据闭区间上连续函数的中值定理可知，在区间[a，b]上至少存在一点ξ，使得函数f(x)在该点处的函数值和[*]相等，即
[*]
等式两边同乘以(b-a)，可得
[*]f(x)dx=(b-a)f(ξ) (a≤ξ≤b)．
(B) 由积分中值定理可得，至少存在一点η∈(B，C)，使得[*]φ(x)dx=φ(η)．又φ(B)＞[*]φ(x)dx，所以有
φ(B)＞φ(A),φ(B)＞φ(η)
因为φ(x)有二阶导数，所以由拉格朗日微分中值定理可知，至少存在一点ξA∈(A，B)，使得[*]；且至少存在一点ξB∈(B，η)，使得[*]．再由拉格朗日微分中值定理可知，至少存在一点ξ∈(ξA，ξB)，使得
[*]
解析：[考点提示] 积分中值定理．